\documentclass[E:/GsjzTle/main/main.tex]{subfiles}

\begin{document}

求方程：\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n!}\)
的正整数解的组数，答案对 \(10^9+7\) 取模

\begin{quote}
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\)\\
\(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{n!}\)\\
\(xy-n!(x+y)=0\)\\
\((n!)^2+xy-n!(x+y)=(n!)^2\)\\
\((x-n!)(y-n!)=(n!)^2\)\\
\(a=(x-n!),b=(y-n!)\)\\
\(ab=(n!)^2\)\\
\(n!=p_1^{c_1}\times p_2^{c_2}\times ...\times p_k^{c_k}\)\\
\((n!)^2=p_1^{2c_1}\times p_2^{2c_2}\times ...\times p_k^{2c_k}\)\\
因为 \(n!\) 是确定的，所以确定了 \(a、b\)，就能确定 \(x、y\)\\
而且只要确定了 \(a\)，就能确定 \(b\)\\
\(a\) 是 \((n!)^2\) 的因数，根据约数个数定理得：\\
\(a\) 可选取的个数为 \((2c_1+1)(2c_2+1)...(2c_k+1)\)\\
即\(Ans=(2c_1+1)(2c_2+1)...(2c_k+1)\)
\end{quote}

\end{document}
